Pré-cálculo Exemplos

$x^{6} + 16 x^{3} + 64$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 2)}^{6} + 16 {(- 2)}^{3} + 64$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$64 + 16 {(- 2)}^{3} + 64$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$64 + 16 \cdot - 8 + 64$

Etapa 4.1.3

Multiplique $16$ por $- 8$ .

$64 - 128 + 64$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $128$ de $64$ .

$- 64 + 64$

Etapa 4.2.2

Some $- 64$ e $64$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{6} + 16 x^{3} + 64}{x + 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$
	$1$	$- 2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$
	$1$	$- 2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$
	$1$	$- 2$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 8)$ sob o próximo termo no dividendo $(16)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$
	$1$	$- 2$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 16)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$	$- 16$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$	$- 16$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$	$- 16$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 16)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(32)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$	$- 16$	$32$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$	$- 16$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$	$- 16$	$32$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$	$- 16$	$32$

Etapa 6.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(32)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 64)$ sob o próximo termo no dividendo $(64)$ .

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$	$- 16$	$32$	$- 64$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$	$- 16$	$32$

Etapa 6.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$0$	$0$	$16$	$0$	$0$	$64$
		$- 2$	$4$	$- 8$	$- 16$	$32$	$- 64$
	$1$	$- 2$	$4$	$8$	$- 16$	$32$	$0$

Etapa 6.15

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{5} + - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + (- 16) x + 32$

Etapa 6.16

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 32$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{5} - 2 x^{4} + 4 x^{3}$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- 2 x^{4}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 4 + 8 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.2.4

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x)$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x) + x^{3} \cdot 4 + 8 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.2.5

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (x^{2} - 2 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $8$ de $8 x^{2} - 16 x + 32$ .

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Etapa 7.1.3.1

Fatore $8$ de $8 x^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 (x^{2}) - 16 x + 32 = 0$

Etapa 7.1.3.2

Fatore $8$ de $- 16 x$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 (x^{2}) + 8 (- 2 x) + 32 = 0$

Etapa 7.1.3.3

Fatore $8$ de $32$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 x^{2} + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.1.3.4

Fatore $8$ de $8 x^{2} + 8 (- 2 x)$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 (x^{2} - 2 x) + 8 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.1.3.5

Fatore $8$ de $8 (x^{2} - 2 x) + 8 \cdot 4$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $x^{2} - 2 x + 4$ de $x^{3} (x^{2} - 2 x + 4) + 8 (x^{2} - 2 x + 4)$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $x^{2} - 2 x + 4$ de $x^{3} (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) x^{3} + 8 (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Etapa 7.1.4.2

Fatore $x^{2} - 2 x + 4$ de $8 (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) x^{3} + (x^{2} - 2 x + 4) \cdot 8 = 0$

Etapa 7.1.4.3

Fatore $x^{2} - 2 x + 4$ de $(x^{2} - 2 x + 4) x^{3} + (x^{2} - 2 x + 4) \cdot 8$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 8) = 0$

Etapa 7.1.5

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Etapa 7.1.6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 7.1.7

Fatore.

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Etapa 7.1.7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.7.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 7.1.7.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Etapa 7.1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Etapa 7.1.8

Combine expoentes.

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Etapa 7.1.8.1

Eleve $x^{2} - 2 x + 4$ à potência de $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.8.2

Eleve $x^{2} - 2 x + 4$ à potência de $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4) (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x^{2} - 2 x + 4)}^{1 + 1} (x + 2) = 0$

Etapa 7.1.8.4

Some $1$ e $1$ .

${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2} (x + 2) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 7.3

Defina ${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina ${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva ${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x^{2} - 2 x + 4 = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x^{2} - 2 x + 4 = \pm 0$

Etapa 7.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Etapa 7.3.2.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.3.2.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.3.2.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.3.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 7.3.2.6.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.3.2.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.3.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.7.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.3.2.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 7.3.2.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 7.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} - 2 x + 4)}^{2} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}, - 2$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 2) (x - 1 - i \sqrt{3}) (x - 1 + \sqrt{3} i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{6} + 16 x^{3} + 64$ .

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 10