Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - x - 42$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 42$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 7, 6$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 4.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 6$

Etapa 7

Fatore $x^{2} - 13 x + 42$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $42$ e cuja soma é $- 13$ .

$- 7, - 6$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 9

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 9.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 10

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 10.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 6$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = 7, - 6, 7, 6$

Etapa 14

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ .

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Etapa 14.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $x$ .

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Etapa 14.2.1

Fatore $x^{2} - 13 x + 42$ usando o método AC.

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Etapa 14.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $42$ e cuja soma é $- 13$ .

$- 7, - 6$

Etapa 14.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Etapa 14.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 14.2.3

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.2.3.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 14.2.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 14.2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 14.2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 14.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 6$

Etapa 14.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 16.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 16.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

Etapa 16.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{142857}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 16.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

Etapa 16.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.3

Teste um valor no intervalo $6 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.3.1

Escolha um valor no intervalo $6 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6.5$

Etapa 16.3.2

Substitua $x$ por $6.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

Etapa 16.3.3

O lado esquerdo $25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.4

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 16.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

Etapa 16.4.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < 6$ Falso

$6 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Verdadeiro

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < 6$ Falso

$6 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Verdadeiro

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 6$ ou $6 < x < 7$ ou $x > 7$

Etapa 18

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 19