Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - x - 20}{x^{2} - 9 x + 20} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - x - 20 = 0$

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$

Etapa 7

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x - 4) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 9

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 9.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 10

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 10.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 4$

Etapa 12

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 5, - 4$

$x = 5, 4$

Etapa 13

Consolide as soluções.

$x = 5, - 4, 5, 4$

Etapa 14

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - x - 20}{x^{2} - 9 x + 20}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - x - 20}{x^{2} - 9 x + 20}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 14.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x - 4) = 0$

Etapa 14.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 14.2.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 14.2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 14.2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 14.2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 14.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 4$

Etapa 14.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 16.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - (- 6) - 20}{{(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 + 20} > 0$

Etapa 16.1.3

O lado esquerdo $0.2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 16.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 20}{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 20} > 0$

Etapa 16.2.3

O lado esquerdo $- 1$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.3

Teste um valor no intervalo $4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4.5$

Etapa 16.3.2

Substitua $x$ por $4.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(4.5)}^{2} - (4.5) - 20}{{(4.5)}^{2} - 9 \cdot 4.5 + 20} > 0$

Etapa 16.3.3

O lado esquerdo $17$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 16.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{{(8)}^{2} - (8) - 20}{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 20} > 0$

Etapa 16.4.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 4$ Falso

$4 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $4 < x < 5$ ou $x > 5$

Etapa 18

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 4) \cup (4, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 19