Pré-cálculo Exemplos

$- x^{3} - 5 x^{2} > - 8 x - 12$

Etapa 1

Some $8 x$ aos dois lados da desigualdade.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x > - 12$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x = - 12$

Etapa 3

Some $12$ aos dois lados da equação.

$- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 4.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- - 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 5 {(- 1)}^{2} + 8 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 8 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 - 5 + 8 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.6

Subtraia $5$ de $1$ .

$- 4 + 8 \cdot - 1 + 12$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- 4 - 8 + 12$

Etapa 4.1.3.8

Subtraia $8$ de $- 4$ .

$- 12 + 12$

Etapa 4.1.3.9

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12}{x + 1}$

Etapa 4.1.5

Divida $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$12$

Etapa 4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 4 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

Etapa 4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Etapa 4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Etapa 4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x + 12$ .

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Etapa 4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$8 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 4.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} - 4 x + 12$

Etapa 4.1.6

Escreva $- x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Etapa 4.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$(x + 1) (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Etapa 4.2.1.1.2

Reescreva $- 4$ como $2$ mais $- 6$

$(x + 1) (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Etapa 4.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Etapa 4.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Etapa 4.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$(x + 1) ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$- x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $- x + 2$ como igual a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 8

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (- x + 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 2, - 6$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$- {(- 8)}^{3} - 5 {(- 8)}^{2} > - 8 \cdot - 8 - 12$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $192$ é maior do que o lado direito $52$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} > - 8 \cdot - 4 - 12$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 16$ não é maior do que o lado direito $20$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} > - 8 \cdot 0 - 12$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 12$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$- {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} > - 8 \cdot 4 - 12$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $- 144$ não é maior do que o lado direito $- 44$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 6$ ou $- 1 < x < 2$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (- 1, 2)$

Etapa 14