Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 45 x^{2} + 324 < 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 45 u + 324 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore $u^{2} - 45 u + 324$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $324$ e cuja soma é $- 45$ .

$- 36, - 9$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 36) (u - 9) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 9 = 0$

Etapa 4

Defina $u - 36$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $u - 36$ como igual a $0$ .

$u - 36 = 0$

Etapa 4.2

Some $36$ aos dois lados da equação.

$u = 36$

Etapa 5

Defina $u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u - 9$ como igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Etapa 5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$u = 9$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 36) (u - 9) = 0$ verdadeiro.

$u = 36, 9$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 36$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 36$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{36}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Etapa 9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 6$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 6$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 6$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 6, - 6$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 9$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 11.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 12

A solução para $x^{4} - 45 x^{2} + 324 = 0$ é $x = 6, - 6, 3, - 3$ .

$x = 6, - 6, 3, - 3$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{4} - 45 {(- 8)}^{2} + 324 < 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $1540$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{4} - 45 {(- 4)}^{2} + 324 < 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 140$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{4} - 45 {(0)}^{2} + 324 < 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $324$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $3 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{4} - 45 {(4)}^{2} + 324 < 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $- 140$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 14.5.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{4} - 45 {(8)}^{2} + 324 < 0$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $1540$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 3$ Falso

$3 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 < x < - 3$ ou $3 < x < 6$

Etapa 16

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 6, - 3) \cup (3, 6)$

Etapa 17