Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 12 x + 3 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 12 x + 3 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 12$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Fatore $4$ de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 6 + \sqrt{33}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $132$ como $2^{2} \cdot 33$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Etapa 6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 6 - \sqrt{33}$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 6 + \sqrt{33}, 6 - \sqrt{33}$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 6 - \sqrt{33}$

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

$x > 6 + \sqrt{33}$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < 6 - \sqrt{33}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 6 - \sqrt{33}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 < 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

${(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 3 < 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $- 24$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 6 + \sqrt{33}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6 + \sqrt{33}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 14$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $14$ na desigualdade original.

${(14)}^{2} - 12 \cdot 14 + 3 < 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $31$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 6 - \sqrt{33}$ Falso

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Verdadeiro

$x > 6 + \sqrt{33}$ Falso

$x < 6 - \sqrt{33}$ Falso

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Verdadeiro

$x > 6 + \sqrt{33}$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(6 - \sqrt{33}, 6 + \sqrt{33})$

Etapa 12