Pré-cálculo Exemplos

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 1

Simplifique $4 x (x - 2)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva.

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 1.2

Simplifique somando os zeros.

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 1.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

Etapa 2

Simplifique $(2 x - 1) (x - 3)$ .

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Etapa 2.1

Expanda $(2 x - 1) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Etapa 2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.1.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Etapa 2.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

Etapa 2.2.2

Subtraia $x$ de $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 3.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

Etapa 3.2

Some $7 x$ aos dois lados da desigualdade.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

Etapa 3.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

Etapa 3.4

Some $- 8 x$ e $7 x$ .

$2 x^{2} - x < 3$

Etapa 4

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} - x = 3$

Etapa 5

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Etapa 6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Etapa 6.1.2

Reescreva $- 1$ como $2$ mais $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Etapa 6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 8

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $96$ não é menor do que o lado direito $63$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $32$ não é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 1, \frac{3}{2})$

Etapa 15