Pré-cálculo Exemplos

$2 x > \frac{4}{x + 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{4}{x + 1}$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x - \frac{4}{x + 1} > 0$

Etapa 2

Simplifique $2 x - \frac{4}{x + 1}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x (x + 1) - 4}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1

Fatore $2$ de $2 x (x + 1) - 4$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x (x + 1)$ .

$\frac{2 (x (x + 1)) - 4}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x (x + 1) - 2)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3.5

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 2.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 2))}{x + 1} > 0$

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 1, - 2, - 1$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$2 (- 4) > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 8$ não é maior do que o lado direito $- 1.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1.5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 1.5$ na desigualdade original.

$2 (- 1.5) > \frac{4}{(- 1.5) + 1}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é maior do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 (0) > \frac{4}{(0) + 1}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 (4) > \frac{4}{(4) + 1}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $0.8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 < x < - 1$ ou $x > 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 2, - 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 14