Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{3} + 8 x^{2} - x - 2 > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x^{3} + 8 x^{2} - x - 2 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) - x - 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x + 2) (4 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$(x + 2) ({(2 x)}^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 2) ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.5

Fatore.

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Etapa 2.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$(x + 2) ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$4 {(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) - 2 > 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 126$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$4 {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 2 > 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} - (0) - 2 > 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 2$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$4 {(3)}^{3} + 8 {(3)}^{2} - (3) - 2 > 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $175$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 < x < - \frac{1}{2}$ ou $x > \frac{1}{2}$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 2, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 12