Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x}{16 - x^{2}} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x = 0$

$16 - x^{2} = 0$

Etapa 2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 16$

Etapa 4

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 6

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, 4, - 4$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{2 x}{16 - x^{2}}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{16 - x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$16 - x^{2} = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 16$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 10.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 10.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 10.2.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 10.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 10.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 10.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 10.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 6)}{16 - {(- 6)}^{2}} < 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $0.6$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 2)}{16 - {(- 2)}^{2}} < 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (2)}{16 - {(2)}^{2}} < 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{2 (6)}{16 - {(6)}^{2}} < 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $- 0.6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < 0$ ou $x > 4$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 4, 0) \cup (4, \infty)$

Etapa 15