Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} - 16} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Etapa 2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = 0, 4, - 4$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\frac{x}{x^{2} - 16}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} - 16}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 16 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $x$ .

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Etapa 8.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16$

Etapa 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 8.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 8.2.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 8.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 8.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 8.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 8.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 0.3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0.1\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 0.1\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{6}{{(6)}^{2} - 16} < 0$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $0.3$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $0 < x < 4$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 4) \cup (0, 4)$

Etapa 13