Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} - 12 > - 2 x^{2} - 16 x$

Etapa 1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$- 2 x^{2} - 16 x < x^{2} - 12$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$- 2 x^{2} - 16 x - x^{2} < - 12$

Etapa 2.2

Subtraia $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 16 x < - 12$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 3 x^{2} - 16 x = - 12$

Etapa 4

Some $12$ aos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} - 16 x + 12 = 0$

Etapa 5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2} - 16 x + 12$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 16 x + 12 = 0$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 1$ de $- 16 x$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) + 12 = 0$

Etapa 5.1.3

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 5.1.4

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (16 x)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} + 16 x) - 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x - 12) = 0$

Etapa 5.2

Fatore.

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Etapa 5.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ e cuja soma é $b = 16$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Fatore $16$ de $16 x$ .

$- (3 x^{2} + 16 (x) - 12) = 0$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva $16$ como $- 2$ mais $18$

$- (3 x^{2} + (- 2 + 18) x - 12) = 0$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 x^{2} - 2 x + 18 x - 12) = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 x^{2} - 2 x) + 18 x - 12) = 0$

Etapa 5.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (3 x - 2) + 6 (3 x - 2)) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 2$ .

$- ((3 x - 2) (x + 6)) = 0$

Etapa 5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 x - 2) (x + 6) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 7

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $3 x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 8

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 x - 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{2}{3}, - 6$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{2} - 12 > - 2 {(- 8)}^{2} - 16 \cdot - 8$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $52$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 12 > - 2 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 12$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{2}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

${(3)}^{2} - 12 > - 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 3$ é maior do que o lado direito $- 66$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Falso

$x > \frac{2}{3}$ Verdadeiro

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Falso

$x > \frac{2}{3}$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 6$ ou $x > \frac{2}{3}$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Etapa 14