Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 13 x + 40 > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 13 x + 40 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 13 x + 40$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $40$ e cuja soma é $13$ .

$5, 8$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 5) (x + 8) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 5

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, - 8$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 5$

$x > - 5$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{2} + 13 (- 10) + 40 > 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $10$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{2} + 13 (- 6) + 40 > 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 2$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 13 (0) + 40 > 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $40$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Verdadeiro

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < - 5$ Falso

$x > - 5$ Verdadeiro

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 8$ ou $x > - 5$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 8) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 11