Pré-cálculo Exemplos

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

Etapa 1

Escreva $| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Reescreva $7$ como $- 3$ mais $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Etapa 1.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 1.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

Etapa 1.2.8.1.3

O lado esquerdo $57$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

Etapa 1.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

Etapa 1.2.8.3.3

O lado esquerdo $45$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falso

$x > \frac{3}{2}$ Verdadeiro

Etapa 1.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 5$ ou $x \geq \frac{3}{2}$

Etapa 1.3

Na parte em que $2 x^{2} + 7 x - 15$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

Etapa 1.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

Etapa 1.5

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Etapa 1.5.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Etapa 1.5.2.1.2

Reescreva $7$ como $- 3$ mais $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Etapa 1.5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Etapa 1.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Etapa 1.5.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Etapa 1.5.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 1.5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 1.5.4

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 1.5.4.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 1.5.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.5.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 1.5.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 1.5.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 1.5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Etapa 1.5.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Etapa 1.5.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 1.5.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

Etapa 1.5.8.1.3

O lado esquerdo $57$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.5.8.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.5.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

Etapa 1.5.8.2.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.5.8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.5.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

Etapa 1.5.8.3.3

O lado esquerdo $45$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.5.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Etapa 1.5.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

Etapa 1.6

Na parte em que $2 x^{2} + 7 x - 15$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

Etapa 1.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Etapa 1.8

Simplifique $- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Etapa 1.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Etapa 1.8.2.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Etapa 1.8.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 15$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ quando $x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Subtraia $10$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

Etapa 2.1.1.2

Subtraia $10$ de $- 15$ .

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

Etapa 2.1.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

Etapa 2.1.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.1.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 7$ e $c = - 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.5.1.3

Some $49$ e $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.6.1.3

Some $49$ e $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.6.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.6.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.6.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

Etapa 2.1.6.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

Etapa 2.1.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.7.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.7.1.3

Some $49$ e $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.7.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.7.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.7.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

Etapa 2.1.7.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

Etapa 2.1.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.1.10.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

Etapa 2.1.10.1.3

O lado esquerdo $57$ não é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.1.10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.1.10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

Etapa 2.1.10.2.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.1.10.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 2.1.10.3.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

Etapa 2.1.10.3.3

O lado esquerdo $70$ não é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.1.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Verdadeiro

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falso

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Verdadeiro

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falso

Etapa 2.1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 2.2

Encontre a intersecção de $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ e $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ ou $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 3

Resolva $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ quando $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

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Etapa 3.1

Resolva $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ para $x$ .

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Etapa 3.1.1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.1.1.1

Subtraia $10$ dos dois lados da desigualdade.

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

Etapa 3.1.1.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

Etapa 3.1.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Etapa 3.1.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.1.4

Substitua os valores $a = - 2$ , $b = - 7$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.5.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.5.1.2.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.5.1.3

Some $49$ e $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Etapa 3.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.6.1.2.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.6.1.3

Some $49$ e $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Etapa 3.1.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.1.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.7.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.7.1.2.2

Multiplique $8$ por $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.7.1.3

Some $49$ e $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.7.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Etapa 3.1.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.1.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 7$

Etapa 3.1.10.1.2

Substitua $x$ por $- 7$ na desigualdade original.

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

Etapa 3.1.10.1.3

O lado esquerdo $- 34$ é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.1.10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

Etapa 3.1.10.2.3

O lado esquerdo $15$ não é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.1.10.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.1.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 3.1.10.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

Etapa 3.1.10.3.3

O lado esquerdo $- 24$ é menor do que o lado direito $10$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Verdadeiro

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falso

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Verdadeiro

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Verdadeiro

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falso

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Verdadeiro

Etapa 3.1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ ou $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Etapa 3.2

Encontre a intersecção de $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ e $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ ou $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ ou $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Etapa 5

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

Etapa 6