Pré-cálculo Exemplos

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Etapa 1.2

Combine $x$ e $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x \cdot 7}{2} - 5 < 0$

Etapa 1.3

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ por $2$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ por $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7 x}{2}$ para o numerador.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} - 7 x - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0 \cdot 2$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} - 7 x - 10 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - 7 x - 10$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 7 x - 10 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 7 x$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 10 = 0$

Etapa 4.1.3

Reescreva $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Etapa 4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (7 x)$ .

$- (x^{2} + 7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Etapa 4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 7 x) - 1 (10)$ .

$- (x^{2} + 7 x + 10) = 0$

Etapa 4.2

Fatore.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2} + 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $7$ .

$2, 5$

Etapa 4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x + 2) (x + 5)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x + 2) (x + 5) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $- (x + 2) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 5$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$x > - 2$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 8)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 8 - 5 < 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 9$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 4 - 5 < 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $1$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 - 5 < 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $x > - 2$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 13