Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ como uma equação.

$y = \frac{8 x}{x - 4}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{8 y}{y - 4}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 4$ .

$(y - 4) (x) = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 4 x = (\frac{8 y}{y - 4}) (y - 4)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 4 x = \frac{8 y}{y - 4} (y - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 4 x = 8 y$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $8 y$ dos dois lados da equação.

$y x - 4 x - 8 y = 0$

Etapa 3.4.2

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$y x - 8 y = 4 x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y x - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - 8 y = 4 x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- 8 y$ .

$y (x) + y \cdot - 8 = 4 x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 8$ .

$y (x - 8) = 4 x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (x - 8) = 4 x$ por $x - 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 8) = 4 x$ por $x - 8$ .

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 8)}{x - 8} = \frac{4 x}{x - 8}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x}{x - 8}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ é o inverso de $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{(\frac{8 x}{x - 4}) - 8}$

Etapa 5.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $4$ de $\frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) - 8}$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $4$ de $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4}) + 4 \cdot - 2}$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $4$ de $4 \frac{2 x}{x - 4} + 4 (- 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{4 (\frac{8 x}{x - 4})}{4 (\frac{2 x}{x - 4} - 2)}$

Etapa 5.2.3.5

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{\frac{8 x}{x - 4}}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Etapa 5.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} - 2 \cdot \frac{x - 4}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{x - 4} + \frac{- 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4

Reescreva $\frac{2 x - 2 (x - 4)}{x - 4}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.1

Fatore $2$ de $2 x - 2 (x - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) - 2 (x - 4)}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (x - 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 4))}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- (x - 4))$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - (x - 4))}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (x - x + 4)}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 4)}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.4.5

Some $0$ e $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{x - 4}}$

Etapa 5.2.5.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{1}{\frac{8}{x - 4}}$

Etapa 5.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot (1 (\frac{x - 4}{8}))$

Etapa 5.2.7

Multiplique $\frac{x - 4}{8}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 (x)}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{8 x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{8}$

Etapa 5.2.8.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = \frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$

Etapa 5.2.9.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{8 x}{x - 4}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{4 x}{x - 8})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (\frac{4 x}{x - 8})}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $8$ e $(\frac{4 x}{x - 8}) - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $4$ de $8 (\frac{4 x}{x - 8})$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{(\frac{4 x}{x - 8}) - 4}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) - 4}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8}) + 4 (- 1)}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Fatore $4$ de $4 \frac{x}{x - 8} + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Etapa 5.3.3.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{4 (2 (\frac{4 x}{x - 8}))}{4 (\frac{x}{x - 8} - 1)}$

Etapa 5.3.3.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{2 (\frac{4 x}{x - 8})}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Combine $2$ e $\frac{4 x}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}$

Etapa 5.3.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - (x - 8)}{x - 8}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $\frac{x - (x - 8)}{x - 8}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{x - x + 8}{x - 8}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{0 + 8}{x - 8}}$

Etapa 5.3.4.4.4

Some $0$ e $8$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{x - 8}}{\frac{8}{x - 8}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 (x)}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{8 x}{x - 8} \cdot \frac{x - 8}{8}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = \frac{x}{x - 8} \cdot (x - 8)$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 x}{x - 8}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$ é o inverso de $f (x) = \frac{8 x}{x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{x - 8}$