Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ .

$\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$7 y^{2}, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$7 y^{2}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ por $7 y^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ por $7 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} (7 y^{2}) = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $7$ de $7 y^{2}$ .

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 (y^{2})} y^{2} = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} - 6}{y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} - 6}{y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} - 6 = x (7 y^{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} - 6 = 7 x y^{2}$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $7 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 6 - 7 x y^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y^{2} - 7 x y^{2} = 6$

Etapa 3.4.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} - 7 x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique por $1$ .

$y^{2} \cdot 1 - 7 x y^{2} = 6$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y^{2}$ de $- 7 x y^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 7 x) = 6$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 7 x)$ .

$y^{2} (1 - 7 x) = 6$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y^{2} (1 - 7 x) = 6$ por $1 - 7 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y^{2} (1 - 7 x) = 6$ por $1 - 7 x$ .

$\frac{y^{2} (1 - 7 x)}{1 - 7 x} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (1 - 7 x)}{1 - 7 x} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Reescreva $\sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$ como $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ por $\frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$

Etapa 3.4.6.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ por $\frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x} \sqrt{1 - 7 x}}$

Etapa 3.4.6.3.2

Eleve $\sqrt{1 - 7 x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1} \sqrt{1 - 7 x}}$

Etapa 3.4.6.3.3

Eleve $\sqrt{1 - 7 x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1} {\sqrt{1 - 7 x}}^{1}}$

Etapa 3.4.6.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.6.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{2}}$

Etapa 3.4.6.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 - 7 x}}^{2}$ como $1 - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - 7 x}$ como ${(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{({(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.6.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.6.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.6.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.6.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{1}}$

Etapa 3.4.6.3.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.6.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Etapa 3.4.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{1}{7})$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{6 (1 - 7 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$6 (1 - 7 x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $6 (1 - 7 x) \geq 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $6 (1 - 7 x) \geq 0$ por $6$ .

$\frac{6 (1 - 7 x)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (1 - 7 x)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $1 - 7 x$ por $1$ .

$1 - 7 x \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$1 - 7 x \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- 7 x \geq - 1$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $- 7 x \geq - 1$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $- 7 x \geq - 1$ por $- 7$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x \leq \frac{1}{7}$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - 7 x = 0$

Etapa 5.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 7 x = - 1$

Etapa 5.3.4.2

Divida cada termo em $- 7 x = - 1$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Divida cada termo em $- 7 x = - 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.3.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{7}$

Etapa 5.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{1}{7})$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$7 x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $7 x^{2} = 0$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Divida cada termo em $7 x^{2} = 0$ por $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Etapa 5.4.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Etapa 5.4.2.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{7}$

Etapa 5.4.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.3.1

Divida $0$ por $7$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ é o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Etapa 6