Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 125$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 5)}^{3} + 125$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 5$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$- 125 + 125$

Etapa 4.2

Some $- 125$ e $125$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 125}{x + 5}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$
		$- 5$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$
		$- 5$
	$1$	$- 5$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(25)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$
		$- 5$	$25$
	$1$	$- 5$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$
		$- 5$	$25$
	$1$	$- 5$	$25$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(25)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 125)$ sob o próximo termo no dividendo $(125)$ .

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$
		$- 5$	$25$	$- 125$
	$1$	$- 5$	$25$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$0$	$0$	$125$
		$- 5$	$25$	$- 125$
	$1$	$- 5$	$25$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + - 5 x + 25$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} - 5 x + 25$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 5$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 7.3.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 7.4.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Etapa 7.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 7.5.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 5) (x - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}) (x - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{3} + 125$ .

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10