Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(2)}^{3} + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$8 + 2^{1} {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 4.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 + 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$8 + 2^{3} - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + 8 - 4 \cdot 2 - 8$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$8 + 8 - 8 - 8$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $8$ e $8$ .

$16 - 8 - 8$

Etapa 4.2.2

Subtraia $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Etapa 4.2.3

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$	$4$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 7

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 2) + x^{2} + 4 x + 2^{2}$

Etapa 7.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 7.3

Reescreva o polinômio.

$(x - 2) + x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

Etapa 7.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x + 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x + 2)}^{2}$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Etapa 8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 8.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 8.4

Fatore.

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Etapa 8.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 8.5

Combine expoentes.

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Etapa 8.5.1

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 8.5.2

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 8.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Etapa 8.5.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 10.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 10.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 13