Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 10 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Etapa 4.1.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 + 10 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 10 - 15 \cdot 1 - 40 \cdot 1 + 44$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$1 + 10 - 15 - 40 \cdot 1 + 44$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 40$ por $1$ .

$1 + 10 - 15 - 40 + 44$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $10$ .

$11 - 15 - 40 + 44$

Etapa 4.2.2

Subtraia $15$ de $11$ .

$- 4 - 40 + 44$

Etapa 4.2.3

Subtraia $40$ de $- 4$ .

$- 44 + 44$

Etapa 4.2.4

Some $- 44$ e $44$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(10)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$	$11$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(11)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(11)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 15)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$	$- 4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 40)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 44)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 44)$ sob o próximo termo no dividendo $(44)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 11 x^{2} + (- 4) x - 44$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 11 x^{2} - 4 x - 44$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (x^{3} + 11 x^{2}) - 4 x - 44$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

$(x - 1) x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 11$ .

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 4)$

Etapa 9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 2^{2})$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) + (x + 11) ((x + 2) (x - 2))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) + (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Reagrupe os termos.

$10 x^{3} - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.2

Fatore $10 x$ de $10 x^{3} - 40 x$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore $10 x$ de $- 40 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.2.3

Fatore $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 4)$ .

$10 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.4

Fatore.

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Etapa 11.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$10 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Etapa 11.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 15 u + 44 = 0$

Etapa 11.7

Fatore $u^{2} - 15 u + 44$ usando o método AC.

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Etapa 11.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $44$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 11, - 4$

Etapa 11.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (u - 11) (u - 4) = 0$

Etapa 11.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 11.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 11.10

Fatore.

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Etapa 11.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 11.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 11.11

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 11.11.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $10 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 11.11.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11) = 0$

Etapa 11.11.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Etapa 11.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Etapa 11.13

Fatore $10 u + u^{2} - 11$ usando o método AC.

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Etapa 11.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 11$ e cuja soma é $10$ .

$- 1, 11$

Etapa 11.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Etapa 11.14

Fatore.

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Etapa 11.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Etapa 11.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 13

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 14

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 14.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 15

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 15.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 15.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 16

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 16.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 17

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 1, - 11$

Etapa 18