Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$0$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 0$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

Etapa 4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 42$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 4.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 5

Como $0$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 0$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 42)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 42)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

Etapa 7

Fatore $x$ de $x^{3} + x^{2} - 42 x$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $- 42 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

Etapa 7.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

Etapa 7.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

Etapa 8

Fatore.

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Etapa 8.1

Fatore $x^{2} + x - 42$ usando o método AC.

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Etapa 8.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 42$ e cuja soma é $1$ .

$- 6, 7$

Etapa 8.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

Etapa 8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ .

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Etapa 9.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

Etapa 9.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

Etapa 9.1.3

Fatore $x^{2}$ de $- 42 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Etapa 9.1.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ .

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Etapa 9.1.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ .

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

Etapa 9.2

Fatore.

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Etapa 9.2.1

Fatore $x^{2} + x - 42$ usando o método AC.

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Etapa 9.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 42$ e cuja soma é $1$ .

$- 6, 7$

Etapa 9.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

Etapa 9.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 11.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 11.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 11.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 11.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 12

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 12.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 13

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6, - 7$

Etapa 15