Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 6 y + 2 z^{2} - 4 z + 5$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 6$ e $c = 2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.4.4

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.4.5

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.5

Subtraia $40$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6

Fatore $4$ de $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

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Etapa 3.1.6.1

Fatore $4$ de $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.3

Fatore $4$ de $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.4

Fatore $4$ de $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.5

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.8

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.6.9

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ como $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

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Etapa 3.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4.4

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4.5

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $40$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6

Fatore $4$ de $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $4$ de $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.3

Fatore $4$ de $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.4

Fatore $4$ de $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.5

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.8

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6.9

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ como $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

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Etapa 4.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Etapa 4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4.4

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4.5

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $40$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6

Fatore $4$ de $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

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Etapa 5.1.6.1

Fatore $4$ de $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.3

Fatore $4$ de $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.4

Fatore $4$ de $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.5

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.8

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.9

Fatore $4$ de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.7

Reescreva $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ como $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

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Etapa 5.1.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Etapa 7