Pré-cálculo Exemplos

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$- 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 1$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 \cdot 1 + 3 (1) - 1$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 3 (1) - 1$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(- 2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$

	$- 2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$
	$- 2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$
	$- 2$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 2$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 2$	$1$	$0$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(- 2) x + 1$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$- 2 x + 1$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x - \frac{1}{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $- 2 x^{2} + 3 x - 1$ .

$x = 1, \frac{1}{2}$

Etapa 10