Pré-cálculo Exemplos

$13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 13$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$13 {(- 1)}^{4} + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$13 \cdot 1 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4.1.2

Multiplique $13$ por $1$ .

$13 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$13 + 12 \cdot - 1 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4.1.4

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$13 - 12 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$13 - 12 - 27 \cdot 1 - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 27$ por $1$ .

$13 - 12 - 27 - 24 \cdot - 1 + 2$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$13 - 12 - 27 + 24 + 2$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $12$ de $13$ .

$1 - 27 + 24 + 2$

Etapa 4.2.2

Subtraia $27$ de $1$ .

$- 26 + 24 + 2$

Etapa 4.2.3

Some $- 26$ e $24$ .

$- 2 + 2$

Etapa 4.2.4

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(13)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

	$13$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(13)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 13)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$	$- 1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 27)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 26)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(26)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 24)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$13 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 26) x + 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$13 x^{3} - x^{2} - 26 x + 2$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (13 x^{3} - x^{2}) - 26 x + 2$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

$(x + 1) x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $13 x - 1$ .

$(x + 1) (13 x - 1) (x^{2} - 2)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$12 x^{3} - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{3} - 24 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 {(x^{2})}^{2} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Etapa 9.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 13 \cdot 2 = 26$ e cuja soma é $b = - 27$ .

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Etapa 9.5.1.1

Fatore $- 27$ de $- 27 u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Etapa 9.5.1.2

Reescreva $- 27$ como $- 1$ mais $- 26$

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} + (- 1 - 26) u + 2 = 0$

Etapa 9.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Etapa 9.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Etapa 9.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$12 x (x^{2} - 2) + u (13 u - 1) - 2 (13 u - 1) = 0$

Etapa 9.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $13 u - 1$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 u - 1) (u - 2) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} - 2$ de $12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} - 2$ de $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} - 2$ de $(13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + 13 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + 13 u^{2} - 1) = 0$

Etapa 9.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 u - 1) = 0$

Etapa 9.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 13 \cdot - 1 = - 13$ e cuja soma é $b = 12$ .

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Etapa 9.9.2.1

Fatore $12$ de $12 u$ .

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 (u) - 1) = 0$

Etapa 9.9.2.2

Reescreva $12$ como $- 1$ mais $13$

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + (- 1 + 13) u - 1) = 0$

Etapa 9.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} - 1 u + 13 u - 1) = 0$

Etapa 9.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} - 2) ((13 u^{2} - 1 u) + 13 u - 1) = 0$

Etapa 9.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} - 2) (u (13 u - 1) + 1 (13 u - 1)) = 0$

Etapa 9.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $13 u - 1$ .

$(x^{2} - 2) ((13 u - 1) (u + 1)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 2) ((13 x - 1) (x + 1)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$13 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 12

Defina $13 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $13 x - 1$ como igual a $0$ .

$13 x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $13 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$13 x = 1$

Etapa 12.2.2

Divida cada termo em $13 x = 1$ por $13$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Divida cada termo em $13 x = 1$ por $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $13$ .

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Etapa 12.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Etapa 12.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{13}$

Etapa 13

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 0.\overline{076923}, - 1$

Etapa 16