Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$3 {(4)}^{4} - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 4$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$3 \cdot 256 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $256$ .

$768 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$768 - 11 \cdot 64 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 11$ por $64$ .

$768 - 704 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$768 - 704 - 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$768 - 704 - 48 - 6 \cdot 4 + 8$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$768 - 704 - 48 - 24 + 8$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $704$ de $768$ .

$64 - 48 - 24 + 8$

Etapa 4.2.2

Subtraia $48$ de $64$ .

$16 - 24 + 8$

Etapa 4.2.3

Subtraia $24$ de $16$ .

$- 8 + 8$

Etapa 4.2.4

Some $- 8$ e $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8}{x - 4}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

	$3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 11)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$	$1$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 6)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(- 8)$ sob o próximo termo no dividendo $(8)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x - 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Etapa 7.1.3

Substitua $0.\overline{6}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.\overline{6}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.3.1

Substitua $0.\overline{6}$ no polinômio.

$3 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $0.\overline{6}$ à potência de $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{296} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $3$ por $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{8} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Etapa 7.1.3.4

Eleve $0.\overline{6}$ à potência de $2$ .

$0.\overline{8} + 0.\overline{4} + 0.\overline{6} - 2$

Etapa 7.1.3.5

Some $0.\overline{8}$ e $0.\overline{4}$ .

$1.\overline{3} + 0.\overline{6} - 2$

Etapa 7.1.3.6

Some $1.\overline{3}$ e $0.\overline{6}$ .

$2 - 2$

Etapa 7.1.3.7

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 7.1.4

Como $0.\overline{6}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + x - 2}{3 x - 2}$

Etapa 7.1.5

Divida $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ por $3 x - 2$ .

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Etapa 7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Etapa 7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Etapa 7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Etapa 7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							+	$3 x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$

Etapa 7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x + 1$

Etapa 7.1.6

Escreva $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ como um conjunto de fatores.

$(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 7.3

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $3 x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 7.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 7.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 7.4

Defina $x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x^{2} + x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 7.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 7.4.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 7.4.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 7.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 7.4.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 7.4.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 4) (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ .

$x = 4, \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 10