Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Etapa 4.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 14$ por $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $1$ e $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Etapa 4.2.2

Subtraia $14$ de $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Etapa 4.2.3

Subtraia $36$ de $- 9$ .

$- 45 + 45$

Etapa 4.2.4

Some $- 45$ e $45$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 9)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 45)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 45)$ sob o próximo termo no dividendo $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Etapa 9

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Etapa 10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reagrupe os termos.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 36 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore $4 x$ de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 11.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Etapa 11.7

Fatore $u^{2} - 14 u + 45$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $45$ e cuja soma é $- 14$ .

$- 9, - 5$

Etapa 11.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Etapa 11.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Etapa 11.9

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Etapa 11.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Etapa 11.11

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.11.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Etapa 11.11.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Etapa 11.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Etapa 11.13

Fatore $4 u + u^{2} - 5$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 11.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Etapa 11.14

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 11.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 13

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 14

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 14.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 15

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 15.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 16

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 16.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 17

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Etapa 18