Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 1$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} - 1$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x + 1$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + x^{2} + x + 1$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2}) + x + 1$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

Etapa 9

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{4} = 1$

Etapa 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Etapa 11

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 12

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 12.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 13