Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$81 + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$81 + 6 \cdot - 27 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Etapa 4.1.3

Multiplique $6$ por $- 27$ .

$81 - 162 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$81 - 162 + 11 \cdot 9 + 12 (- 3) + 18$

Etapa 4.1.5

Multiplique $11$ por $9$ .

$81 - 162 + 99 + 12 (- 3) + 18$

Etapa 4.1.6

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$81 - 162 + 99 - 36 + 18$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $162$ de $81$ .

$- 81 + 99 - 36 + 18$

Etapa 4.2.2

Some $- 81$ e $99$ .

$18 - 36 + 18$

Etapa 4.2.3

Subtraia $36$ de $18$ .

$- 18 + 18$

Etapa 4.2.4

Some $- 18$ e $18$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18}{x + 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 3)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$	$3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(11)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$	$2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$	$6$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 18)$ sob o próximo termo no dividendo $(18)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (2) x + 6$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 x + 6$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 3) + x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

$(x + 3) x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$(x + 3) (x + 3) (x^{2} + 2)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$6 x^{3} + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $6 x$ de $6 x^{3} + 12 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $6 x$ de $12 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (2)$ .

$6 x (x^{2} + 2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + u^{2} + 11 u + 18 = 0$

Etapa 9.5

Fatore $u^{2} + 11 u + 18$ usando o método AC.

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Etapa 9.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $11$ .

$2, 9$

Etapa 9.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (u + 9) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} + 2$ de $6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} + 2$ de $6 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 2) (6 x + x^{2} + 9) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 2) (6 u + u^{2} + 9) = 0$

Etapa 9.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 9.9.1

Reorganize os termos.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 9) = 0$

Etapa 9.9.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 3^{2}) = 0$

Etapa 9.9.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 9.9.4

Reescreva o polinômio.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 9.9.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 3)}^{2} = 0$

Etapa 9.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 12

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 12.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 12.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 3$

Etapa 14