Pré-cálculo Exemplos

$x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - {(1)}^{4} + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 \cdot 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 + 7 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 1 + 7 - 7 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 (1) - 12$

Etapa 4.1.8

Multiplique $12$ por $1$ .

$1 - 1 + 7 - 7 + 12 - 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + 7 - 7 + 12 - 12$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $7$ .

$7 - 7 + 12 - 12$

Etapa 4.2.3

Subtraia $7$ de $7$ .

$0 + 12 - 12$

Etapa 4.2.4

Some $0$ e $12$ .

$12 - 12$

Etapa 4.2.5

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{5} - x^{4} + 7 x^{3} - 7 x^{2} + 12 x - 12}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$7$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(7)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(7)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(12)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 1$	$7$	$- 7$	$12$	$- 12$
		$1$	$0$	$7$	$0$	$12$
	$1$	$0$	$7$	$0$	$12$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 0 x + 12$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{4} + 7 x^{2} + 12$

Etapa 7

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12$

Etapa 8

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} + 7 u + 12$

Etapa 9

Fatore $u^{2} + 7 u + 12$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $7$ .

$3, 4$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) + (u + 3) (u + 4)$

$(x - 1) (u + 3) (u + 4)$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.2

Fatore $x$ de $x^{5} + 7 x^{3} + 12 x$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 7 x^{3} + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore $x$ de $7 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + 12 x - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.2.3

Fatore $x$ de $12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (7 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12 - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 7 x^{2}) + x \cdot 12$ .

$x (x^{4} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 7 u + 12) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.5

Fatore $u^{2} + 7 u + 12$ usando o método AC.

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Etapa 11.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $7$ .

$3, 4$

Etapa 11.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u + 3) (u + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.6

Fatore.

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Etapa 11.6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} + 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - x^{4} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.7

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 11.8

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Etapa 11.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 11.9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 11.9.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 u$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 7 u - 12 = 0$

Etapa 11.9.1.2

Reescreva $- 7$ como $- 3$ mais $- 4$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 3 - 4) u - 12 = 0$

Etapa 11.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Etapa 11.9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 3 u - 4 u - 12 = 0$

Etapa 11.9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 3) + 4 (- u - 3) = 0$

Etapa 11.9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 3$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- u - 3) (u + 4) = 0$

Etapa 11.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 11.11

Fatore $x^{2} + 4$ de $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

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Etapa 11.11.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 11.11.2

Fatore $x^{2} + 4$ de $(- x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.11.3

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 4) (- x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (x (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.12

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.13

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.13.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 11.13.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{2} + 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2} + 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.13.2

Some $1$ e $2$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.14

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} + 4) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Etapa 11.15

Reordene os termos.

$(x^{2} + 4) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Etapa 11.16

Fatore.

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Etapa 11.16.1

Reescreva $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ em uma forma fatorada.

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Etapa 11.16.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.16.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 4) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Etapa 11.16.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 4) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Etapa 11.16.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 11.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 13

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 13.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 13.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 13.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 13.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 13.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 13.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 13.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 13.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 13.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 13.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 14

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 14.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 15

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 15.1

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 15.2

Resolva $x^{2} + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 15.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3$

Etapa 15.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 15.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 15.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 15.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 15.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 15.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 15.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 15.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 15.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 16

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 4) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 17