Pré-cálculo Exemplos

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.7

Multiplique $22$ por $1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

Etapa 4.2.2

Some $- 5$ e $3$ .

$- 2 + 22 + 4 - 24$

Etapa 4.2.3

Some $- 2$ e $22$ .

$20 + 4 - 24$

Etapa 4.2.4

Some $20$ e $4$ .

$24 - 24$

Etapa 4.2.5

Subtraia $24$ de $24$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(22)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(20)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 24)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(24)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 24)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 5 x$ de $- 5 x^{3} + 20 x$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $- 5 x$ de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $- 5 x$ de $20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $- 5 x$ de $- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ .

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore.

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Etapa 7.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Etapa 7.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Etapa 7.1.7

Fatore $u^{2} + 2 u - 24$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $2$ .

$- 4, 6$

Etapa 7.1.7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

Etapa 7.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 7.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 7.1.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 7.1.11

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

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Etapa 7.1.11.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $- 5 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 7.1.11.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

Etapa 7.1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

Etapa 7.1.13

Fatore $- 5 u + u^{2} + 6$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.13.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 7.1.13.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

Etapa 7.1.14

Fatore.

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Etapa 7.1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Etapa 7.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

Etapa 7.1.15

Combine expoentes.

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Etapa 7.1.15.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Etapa 7.1.15.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Etapa 7.1.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Etapa 7.1.15.4

Some $1$ e $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.4

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 3$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ .

$x = - 1, - 2, 2, 3$

Etapa 10