Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} + 16 (4) - 64$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 4$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 4 {(4)}^{2} + 16 (4) - 64$

Etapa 4.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$64 - 4 \cdot 16 + 16 (4) - 64$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$64 - 64 + 16 (4) - 64$

Etapa 4.1.4

Multiplique $16$ por $4$ .

$64 - 64 + 64 - 64$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $64$ de $64$ .

$0 + 64 - 64$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $64$ .

$64 - 64$

Etapa 4.2.3

Subtraia $64$ de $64$ .

$0$

Etapa 5

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64}{x - 4}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(16)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$16$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(16)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(64)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 64)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$	$64$
	$1$	$0$	$16$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$	$64$
	$1$	$0$	$16$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 0 x + 16$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 16$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 16$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Etapa 7.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Etapa 7.3.1

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Etapa 7.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Etapa 7.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Etapa 7.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Etapa 7.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Etapa 7.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Etapa 7.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 i$

Etapa 7.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 i$

Etapa 7.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 i, - 4 i$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 4) (x - 4 i) (x + 4 i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64$ .

$x = 4, 4 i, - 4 i$

Etapa 10