Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$9 {(- 1)}^{4} + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$9 \cdot 1 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$9 + 10 \cdot - 1 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4.1.4

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$9 - 10 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$9 - 10 + 19 \cdot 1 + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4.1.6

Multiplique $19$ por $1$ .

$9 - 10 + 19 + 20 (- 1) + 2$

Etapa 4.1.7

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$9 - 10 + 19 - 20 + 2$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $10$ de $9$ .

$- 1 + 19 - 20 + 2$

Etapa 4.2.2

Some $- 1$ e $19$ .

$18 - 20 + 2$

Etapa 4.2.3

Subtraia $20$ de $18$ .

$- 2 + 2$

Etapa 4.2.4

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2}{x + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(9)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

	$9$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(10)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(19)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$	$18$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(18)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 18)$ sob o próximo termo no dividendo $(20)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (18) x + 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$9 x^{3} + x^{2} + 18 x + 2$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) (9 x^{3} + x^{2}) + 18 x + 2$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) + x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

$(x + 1) x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 x + 1$ .

$(x + 1) (9 x + 1) (x^{2} + 2)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $10 x$ de $10 x^{3} + 20 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $10 x$ de $20 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2 = 0$

Etapa 9.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ e cuja soma é $b = 19$ .

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Etapa 9.5.1.1

Fatore $19$ de $19 u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2 = 0$

Etapa 9.5.1.2

Reescreva $19$ como $1$ mais $18$

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2 = 0$

Etapa 9.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2 = 0$

Etapa 9.5.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Etapa 9.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Etapa 9.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1) = 0$

Etapa 9.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u + 1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} + 2$ de $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} + 2$ de $10 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} + 2$ de $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1) = 0$

Etapa 9.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1) = 0$

Etapa 9.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ e cuja soma é $b = 10$ .

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Etapa 9.9.2.1

Fatore $10$ de $10 u$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1) = 0$

Etapa 9.9.2.2

Reescreva $10$ como $1$ mais $9$

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1) = 0$

Etapa 9.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1) = 0$

Etapa 9.9.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1) = 0$

Etapa 9.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1) = 0$

Etapa 9.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1)) = 0$

Etapa 9.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 12

Defina $9 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $9 x + 1$ como igual a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $9 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$9 x = - 1$

Etapa 12.2.2

Divida cada termo em $9 x = - 1$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Divida cada termo em $9 x = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 12.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 12.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Etapa 12.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{9}$

Etapa 13

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - \frac{1}{9}, - 1$

Etapa 15