Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{4} + 46 x^{3} + 68 x^{2} + 322 x + 35$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{9}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{9}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{9}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$9 {(- 5)}^{4} + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 5$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$9 \cdot 625 + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4.1.2

Multiplique $9$ por $625$ .

$5625 + 46 {(- 5)}^{3} + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$5625 + 46 \cdot - 125 + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4.1.4

Multiplique $46$ por $- 125$ .

$5625 - 5750 + 68 {(- 5)}^{2} + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$5625 - 5750 + 68 \cdot 25 + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4.1.6

Multiplique $68$ por $25$ .

$5625 - 5750 + 1700 + 322 (- 5) + 35$

Etapa 4.1.7

Multiplique $322$ por $- 5$ .

$5625 - 5750 + 1700 - 1610 + 35$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $5750$ de $5625$ .

$- 125 + 1700 - 1610 + 35$

Etapa 4.2.2

Some $- 125$ e $1700$ .

$1575 - 1610 + 35$

Etapa 4.2.3

Subtraia $1610$ de $1575$ .

$- 35 + 35$

Etapa 4.2.4

Some $- 35$ e $35$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{9 x^{4} + 46 x^{3} + 68 x^{2} + 322 x + 35}{x + 5}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(9)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$

	$9$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 45)$ sob o próximo termo no dividendo $(46)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$
	$9$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$
	$9$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(68)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$
	$9$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$
	$9$	$1$	$63$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(63)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 315)$ sob o próximo termo no dividendo $(322)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$
	$9$	$1$	$63$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$
	$9$	$1$	$63$	$7$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(7)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 35)$ sob o próximo termo no dividendo $(35)$ .

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$	$- 35$
	$9$	$1$	$63$	$7$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$9$	$46$	$68$	$322$	$35$
		$- 45$	$- 5$	$- 315$	$- 35$
	$9$	$1$	$63$	$7$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (63) x + 7$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$9 x^{3} + x^{2} + 63 x + 7$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 5) (9 x^{3} + x^{2}) + 63 x + 7$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 5) + x^{2} (9 x + 1) + 7 (9 x + 1)$

$(x + 5) x^{2} (9 x + 1) + 7 (9 x + 1)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 x + 1$ .

$(x + 5) (9 x + 1) (x^{2} + 7)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$46 x^{3} + 322 x + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $46 x$ de $46 x^{3} + 322 x$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $46 x$ de $46 x^{3}$ .

$46 x (x^{2}) + 322 x + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $46 x$ de $322 x$ .

$46 x (x^{2}) + 46 x (7) + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $46 x$ de $46 x (x^{2}) + 46 x (7)$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 x^{4} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 {(x^{2})}^{2} + 68 x^{2} + 35 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 68 u + 35 = 0$

Etapa 9.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 35 = 315$ e cuja soma é $b = 68$ .

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Etapa 9.5.1.1

Fatore $68$ de $68 u$ .

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 68 (u) + 35 = 0$

Etapa 9.5.1.2

Reescreva $68$ como $5$ mais $63$

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + (5 + 63) u + 35 = 0$

Etapa 9.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 5 u + 63 u + 35 = 0$

Etapa 9.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$46 x (x^{2} + 7) + 9 u^{2} + 5 u + 63 u + 35 = 0$

Etapa 9.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$46 x (x^{2} + 7) + u (9 u + 5) + 7 (9 u + 5) = 0$

Etapa 9.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u + 5$ .

$46 x (x^{2} + 7) + (9 u + 5) (u + 7) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$46 x (x^{2} + 7) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $x^{2} + 7$ de $46 x (x^{2} + 7) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $x^{2} + 7$ de $46 x (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (46 x) + (9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $x^{2} + 7$ de $(9 x^{2} + 5) (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (46 x) + (x^{2} + 7) (9 x^{2} + 5) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $x^{2} + 7$ de $(x^{2} + 7) (46 x) + (x^{2} + 7) (9 x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 7) (46 x + 9 x^{2} + 5) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 7) (46 u + 9 u^{2} + 5) = 0$

Etapa 9.9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 46 u + 5) = 0$

Etapa 9.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 5 = 45$ e cuja soma é $b = 46$ .

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Etapa 9.9.2.1

Fatore $46$ de $46 u$ .

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 46 (u) + 5) = 0$

Etapa 9.9.2.2

Reescreva $46$ como $1$ mais $45$

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + (1 + 45) u + 5) = 0$

Etapa 9.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + 1 u + 45 u + 5) = 0$

Etapa 9.9.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 7) (9 u^{2} + u + 45 u + 5) = 0$

Etapa 9.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 7) ((9 u^{2} + u) + 45 u + 5) = 0$

Etapa 9.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 7) (u (9 u + 1) + 5 (9 u + 1)) = 0$

Etapa 9.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 7) ((9 u + 1) (u + 5)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 7) ((9 x + 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 7) (9 x + 1) (x + 5) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 7$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 7$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{7}$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{7}$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Etapa 12

Defina $9 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $9 x + 1$ como igual a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $9 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$9 x = - 1$

Etapa 12.2.2

Divida cada termo em $9 x = - 1$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Divida cada termo em $9 x = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 12.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 12.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Etapa 12.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{9}$

Etapa 13

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 7) (9 x + 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}, - \frac{1}{9}, - 5$

Etapa 15