Pré-cálculo Exemplos

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.2

Multiplique $5$ por $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 36$ por $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.6

Multiplique $62$ por $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 46$ por $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

Etapa 4.1.9

Multiplique $57$ por $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $576$ de $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

Etapa 4.2.2

Some $- 416$ e $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

Etapa 4.2.3

Subtraia $184$ de $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

Etapa 4.2.4

Some $- 104$ e $114$ .

$10 - 10$

Etapa 4.2.5

Subtraia $10$ de $10$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$	$- 26$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 26)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 52)$ sob o próximo termo no dividendo $(62)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(10)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 46)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 26)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 52)$ sob o próximo termo no dividendo $(57)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 10)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$	$0$

Etapa 6.13

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$5 x^{4} + - 26 x^{3} + 10 x^{2} + - 26 x + 5$

Etapa 6.14

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x^{4} - 26 x^{3} + 10 x^{2} - 26 x + 5$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$- 26 x^{3} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 26 x$ de $- 26 x^{3} - 26 x$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $- 26 x$ de $- 26 x^{3}$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $- 26 x$ de $- 26 x$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x \cdot 1 + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $- 26 x$ de $- 26 x (x^{2}) - 26 x (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $5$ de $5 x^{4} + 10 x^{2} + 5$ .

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Etapa 7.1.3.1

Fatore $5$ de $5 x^{4}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 10 x^{2} + 5 = 0$

Etapa 7.1.3.2

Fatore $5$ de $10 x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 = 0$

Etapa 7.1.3.3

Fatore $5$ de $5$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Etapa 7.1.3.4

Fatore $5$ de $5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2})$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Etapa 7.1.3.5

Fatore $5$ de $5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 7.1.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 7.1.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Etapa 7.1.6

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.1.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 7.1.6.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 7.1.6.3

Reescreva o polinômio.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 7.1.6.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.8

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 7.1.8.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 26 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.8.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 7.1.8.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 7.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5 \cdot 1) = 0$

Etapa 7.1.10

Multiplique $5$ por $1$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5) = 0$

Etapa 7.1.11

Reordene os termos.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Etapa 7.1.12

Fatore.

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Etapa 7.1.12.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.12.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ e cuja soma é $b = - 26$ .

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Etapa 7.1.12.1.1.1

Fatore $- 26$ de $- 26 x$ .

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Etapa 7.1.12.1.1.2

Reescreva $- 26$ como $- 1$ mais $- 25$

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5) = 0$

Etapa 7.1.12.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5) = 0$

Etapa 7.1.12.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.12.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} + 1) ((5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5) = 0$

Etapa 7.1.12.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} + 1) (x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1)) = 0$

Etapa 7.1.12.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) ((5 x - 1) (x - 5)) = 0$

Etapa 7.1.12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 7.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 7.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 7.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 7.4

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $5 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 x = 1$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 7.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 2) (x - i) (x + i) (x - \frac{1}{5}) (x - 5)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$ .

$x = 2, i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Etapa 10