Pré-cálculo Exemplos

$5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5, \pm 25$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$5 {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 5$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $5$ por ${(5)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $5$ por ${(5)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$5^{1} {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5^{1 + 3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Etapa 4.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$5^{4} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Etapa 4.1.2

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$625 - 26 {(5)}^{2} + 25$

Etapa 4.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$625 - 26 \cdot 25 + 25$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 26$ por $25$ .

$625 - 650 + 25$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $650$ de $625$ .

$- 25 + 25$

Etapa 4.2.2

Some $- 25$ e $25$ .

$0$

Etapa 5

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{5 x^{3} - 26 x^{2} + 25}{x - 5}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

	$5$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(25)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 26)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$	$- 1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(- 25)$ sob o próximo termo no dividendo $(25)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$5 x^{2} + - 1 x - 5$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x^{2} - x - 5$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 5$ , $b = - 1$ e $c = - 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 5)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.3.1.3

Some $1$ e $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.4.1.3

Some $1$ e $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Etapa 7.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Etapa 7.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.5.1.3

Some $1$ e $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Etapa 7.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Etapa 7.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 5) (x - \frac{1 + \sqrt{101}}{10}) (x - \frac{1 - \sqrt{101}}{10})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$ .

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Forma decimal:

$x = 5, 1.10498756 \dots, - 0.90498756 \dots$

Etapa 11