Pré-cálculo Exemplos

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{1}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $4$ de $16$ .

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.4.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.4.4

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.5

Combine $5$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.9

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.9.1

Fatore $4$ de $52$ .

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.9.2

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.10

Combine $13$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.11

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.14

Combine $- 45$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.16

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $45$ de $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Some $13$ e $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.1

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $\frac{18}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{18}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $18$ por $2$ .

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

Etapa 4.5.2

Subtraia $40$ de $4$ .

$\frac{- 36 + 36}{4}$

Etapa 4.5.3

Some $- 36$ e $36$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 4.5.4

Divida $0$ por $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{1}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(20)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(20)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(52)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(62)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(31)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 45)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 14)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 7)$ sob o próximo termo no dividendo $(5)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 2)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

Etapa 7

Fatore $2$ de $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $20 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $62 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $- 14 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $- 2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

Etapa 8.1.3

Substitua $- 0.1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 8.1.3.1

Substitua $- 0.1$ no polinômio.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.2

Eleve $- 0.1$ à potência de $4$ .

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $20$ por $0.0001$ .

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.4

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.5

Multiplique $52$ por $- 0.001$ .

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.6

Subtraia $0.052$ de $0.002$ .

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.7

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.8

Multiplique $- 45$ por $0.01$ .

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.9

Subtraia $0.45$ de $- 0.05$ .

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Etapa 8.1.3.10

Multiplique $5$ por $- 0.1$ .

$- 0.5 - 0.5 + 1$

Etapa 8.1.3.11

Subtraia $0.5$ de $- 0.5$ .

$- 1 + 1$

Etapa 8.1.3.12

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 8.1.4

Como $- 0.1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $10 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

Etapa 8.1.5

Divida $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ por $10 x + 1$ .

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Etapa 8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Etapa 8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Etapa 8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x^{4} + 2 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

Etapa 8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Etapa 8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $50 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Etapa 8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $50 x^{3} + 5 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

Etapa 8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Etapa 8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 50 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Etapa 8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Etapa 8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 50 x^{2} - 5 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Etapa 8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

Etapa 8.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Etapa 8.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Etapa 8.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Etapa 8.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x + 1$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Etapa 8.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

Etapa 8.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

Etapa 8.1.6

Escreva $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ como um conjunto de fatores.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Etapa 8.2

Fatore $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 8.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Etapa 8.2.1.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.5

Multiplique $5$ por $0.25$ .

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.6

Some $0.25$ e $1.25$ .

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.7

Multiplique $- 5$ por $0.5$ .

$1.5 - 2.5 + 1$

Etapa 8.2.1.3.8

Subtraia $2.5$ de $1.5$ .

$- 1 + 1$

Etapa 8.2.1.3.9

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 8.2.1.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

Etapa 8.2.1.5

Divida $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ por $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Etapa 8.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

Etapa 8.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 8.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 8.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Etapa 8.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 8.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 8.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 8.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 8.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Etapa 8.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Etapa 8.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Etapa 8.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Etapa 8.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x + 1$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Etapa 8.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

Etapa 8.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 3 x - 1$

Etapa 8.2.1.6

Escreva $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ como um conjunto de fatores.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Etapa 10

Defina $10 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $10 x + 1$ como igual a $0$ .

$10 x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $10 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$10 x = - 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $10 x = - 1$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $10 x = - 1$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{10}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{10}$

Etapa 11

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 12

Defina $x^{2} + 3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x^{2} + 3 x - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 12.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.3.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.4.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.4.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Etapa 12.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Etapa 12.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.5.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Etapa 12.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Etapa 12.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

Etapa 15