Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 14 x + 45$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 5)}^{2} + 14 (- 5) + 45$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 5$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$25 + 14 (- 5) + 45$

Etapa 4.1.2

Multiplique $14$ por $- 5$ .

$25 - 70 + 45$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $70$ de $25$ .

$- 45 + 45$

Etapa 4.2.2

Some $- 45$ e $45$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{2} + 14 x + 45}{x + 5}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$	$1$	$14$	$45$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$	$1$	$14$	$45$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(14)$ .

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$
	$1$	$9$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(9)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 45)$ sob o próximo termo no dividendo $(45)$ .

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$	$- 45$
	$1$	$9$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$	$- 45$
	$1$	$9$	$0$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(1) x + 9$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$x + 9$

Etapa 7

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 5) (x + 9)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{2} + 14 x + 45$ .

$x = - 5, - 9$

Etapa 10