Pré-cálculo Exemplos

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $t = 3$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 12$ por $9$ .

$81 - 108 + 27$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $108$ de $81$ .

$- 27 + 27$

Etapa 4.2.2

Some $- 27$ e $27$ .

$0$

Etapa 5

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $t - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(9)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 3)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 9)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 9)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(- 27)$ sob o próximo termo no dividendo $(27)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $t + 3$ .

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

Etapa 9

Substitua $u = t^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

Etapa 10

Fatore $u^{2} - 12 u + 27$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $27$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 9, - 3$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

Etapa 12

Defina $u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 12.1

Defina $u - 9$ como igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Etapa 12.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$u = 9$

Etapa 13

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 13.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 13.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 9) (u - 3) = 0$ verdadeiro.

$u = 9, 3$

Etapa 15

Substitua o valor real de $u = t^{2}$ de volta na equação resolvida.

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

Etapa 16

Resolva a primeira equação para $t$ .

$t^{2} = 9$

Etapa 17

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

Etapa 17.2

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 17.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 17.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$t = \pm 3$

Etapa 17.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 17.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = 3$

Etapa 17.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - 3$

Etapa 17.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = 3, - 3$

Etapa 18

Resolva a segunda equação para $t$ .

${(t^{2})}^{1} = 3$

Etapa 19

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 19.1

Remova os parênteses.

$t^{2} = 3$

Etapa 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

Etapa 19.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 19.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \sqrt{3}$

Etapa 19.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \sqrt{3}$

Etapa 19.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 20

A solução para $t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ é $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 21

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Etapa 22