Pré-cálculo Exemplos

$6 x^{3} + 22 x^{2} + 10 x - 6$

Etapa 1

Fatore $2$ de $6 x^{3} + 22 x^{2} + 10 x - 6$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $6 x^{3}$ .

$2 (3 x^{3}) + 22 x^{2} + 10 x - 6$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $22 x^{2}$ .

$2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 10 x - 6$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $10 x$ .

$2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (5 x) - 6$

Etapa 1.4

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 (- 3)$

Etapa 1.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{3}) + 2 (11 x^{2})$ .

$2 (3 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 (- 3)$

Etapa 1.6

Fatore $2$ de $2 (3 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$2 (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x) + 2 (- 3)$

Etapa 1.7

Fatore $2$ de $2 (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x) + 2 (- 3)$ .

$2 (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3)$

Etapa 2

Fatore $3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 3$

Etapa 2.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$3 {(- 1)}^{3} + 11 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 - 3$

Etapa 2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 1 + 11 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 - 3$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 + 11 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 - 3$

Etapa 2.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 3 + 11 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 - 3$

Etapa 2.3.5

Multiplique $11$ por $1$ .

$- 3 + 11 + 5 \cdot - 1 - 3$

Etapa 2.3.6

Some $- 3$ e $11$ .

$8 + 5 \cdot - 1 - 3$

Etapa 2.3.7

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$8 - 5 - 3$

Etapa 2.3.8

Subtraia $5$ de $8$ .

$3 - 3$

Etapa 2.3.9

Subtraia $3$ de $3$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3}{x + 1}$

Etapa 2.5

Divida $3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$3$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x^{2} + 8 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x - 3$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Etapa 2.6

Escreva $3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 3$ como um conjunto de fatores.

$2 ((x + 1) (3 x^{2} + 8 x - 3))$

Etapa 3

Fatore.

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Etapa 3.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$2 ((x + 1) (3 x^{2} + 8 (x) - 3))$

Etapa 3.1.1.1.2

Reescreva $8$ como $- 1$ mais $9$

$2 ((x + 1) (3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3))$

Etapa 3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x + 1) (3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3))$

Etapa 3.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((x + 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3))$

Etapa 3.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 ((x + 1) (x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)))$

Etapa 3.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$2 ((x + 1) ((3 x - 1) (x + 3)))$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x + 1) (3 x - 1) (x + 3))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 1) (3 x - 1) (x + 3)$