Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{3} - 13 x + 4$

Etapa 1

Fatore $9 x^{3} - 13 x + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{4}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

Etapa 1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$9 \cdot 1^{3} - 13 \cdot 1 + 4$

Etapa 1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$9 \cdot 1 - 13 \cdot 1 + 4$

Etapa 1.3.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 - 13 \cdot 1 + 4$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 13$ por $1$ .

$9 - 13 + 4$

Etapa 1.3.5

Subtraia $13$ de $9$ .

$- 4 + 4$

Etapa 1.3.6

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{9 x^{3} - 13 x + 4}{x - 1}$

Etapa 1.5

Divida $9 x^{3} - 13 x + 4$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$13 x$

$4$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$9 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			+	$9 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{3} - 9 x^{2}$ .

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$9 x^{2}$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} - 9 x$ .

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x + 4$ .

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	-	$4$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$9 x^{2} + 9 x - 4$

Etapa 1.6

Escreva $9 x^{3} - 13 x + 4$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (9 x^{2} + 9 x - 4)$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot - 4 = - 36$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$(x - 1) (9 x^{2} + 9 (x) - 4)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $9$ como $- 3$ mais $12$

$(x - 1) (9 x^{2} + (- 3 + 12) x - 4)$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 12 x - 4)$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((9 x^{2} - 3 x) + 12 x - 4)$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (3 x (3 x - 1) + 4 (3 x - 1))$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(x - 1) ((3 x - 1) (3 x + 4))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (3 x - 1) (3 x + 4)$