Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x^{3} - 8 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} + 17 u + 16$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $17$ .

$1, 16$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.9.1

Reorganize os termos.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Etapa 2.1.9.4

Reescreva o polinômio.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.1.9.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 4$ .

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, 4$

Etapa 3