Pré-cálculo Exemplos

$P (x) = 12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$

Etapa 1

Defina $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ como igual a $0$ .

$12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $- 0.\overline{3}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.\overline{3}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $- 0.\overline{3}$ no polinômio.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $12$ por $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} - 20 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} + 3$

Etapa 2.1.1.3.4

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$- 0.\overline{4} - 20 \cdot 0.\overline{1} - 0.\overline{3} + 3$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $- 20$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} - 2.\overline{2} - 0.\overline{3} + 3$

Etapa 2.1.1.3.6

Subtraia $2.\overline{2}$ de $- 0.\overline{4}$ .

$- 2.\overline{6} - 0.\overline{3} + 3$

Etapa 2.1.1.3.7

Subtraia $0.\overline{3}$ de $- 2.\overline{6}$ .

$- 3 + 3$

Etapa 2.1.1.3.8

Some $- 3$ e $3$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $- 0.\overline{3}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $3 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3}{3 x + 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ por $3 x + 1$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$20 x^{2}$

$x$

$3$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 24 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 24 x^{2} - 8 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x + 3$ .

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$x$	+	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	-	$3$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} - 8 x + 3$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $12 x^{3} - 20 x^{2} + x + 3$ como um conjunto de fatores.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 2.1.2.1.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Reescreva $- 8$ como $- 2$ mais $- 6$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Etapa 2.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $3 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 1$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Etapa 3