Pré-cálculo Exemplos

$P (x) = 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Etapa 1

Defina $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$ como igual a $0$ .

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $32$ de $64 x - 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $32$ de $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $32$ de $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $32$ de $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore $x^{2}$ de $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Etapa 2.1.3.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Etapa 2.1.3.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e cuja soma é $b = - 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Etapa 2.1.4.1.1.2

Reescreva $- 13$ como $- 1$ mais $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Etapa 2.1.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Etapa 2.1.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Etapa 2.1.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $2 x - 1$ de $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

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Etapa 2.1.5.1

Fatore $2 x - 1$ de $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Fatore $2 x - 1$ de $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.5.3

Fatore $2 x - 1$ de $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Etapa 2.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.1.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Etapa 2.1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Some $2$ e $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Etapa 2.1.8

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Etapa 2.1.9

Reordene os termos.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

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Etapa 2.1.10.1

Reescreva $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.10.1.1

Fatore $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.10.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.10.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Etapa 2.1.10.1.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.10.1.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 2.1.10.1.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 2.1.10.1.1.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Etapa 2.1.10.1.1.3.4

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Etapa 2.1.10.1.1.3.5

Subtraia $24$ de $- 8$ .

$- 32 + 32$

Etapa 2.1.10.1.1.3.6

Some $- 32$ e $32$ .

$0$

Etapa 2.1.10.1.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Etapa 2.1.10.1.1.5

Divida $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ por $x + 2$ .

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Etapa 2.1.10.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Etapa 2.1.10.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Etapa 2.1.10.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.10.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.10.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Etapa 2.1.10.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 2.1.10.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 2.1.10.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Etapa 2.1.10.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 2.1.10.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Etapa 2.1.10.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Etapa 2.1.10.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Etapa 2.1.10.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Etapa 2.1.10.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Etapa 2.1.10.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Etapa 2.1.10.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Etapa 2.1.10.1.1.6

Escreva $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.10.1.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 2.1.10.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.5

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Etapa 3