Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Etapa 1

Defina $x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$ como igual a $0$ .

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.2.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.2.6

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.1.5.3

Reescreva o polinômio.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $7$ de $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $7$ de $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $7$ de $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $7$ de $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Etapa 2.1.7.4

Fatore $7$ de $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Etapa 2.1.7.5

Fatore $7$ de $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.1.9

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.10.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.1.10.3

Reescreva o polinômio.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.12

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.12.1

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.1.12.2

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Etapa 2.1.12.3

Fatore ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.3.2.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.3.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.3.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.3.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.4

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = i, - i, - 7$

Etapa 3