Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$

Etapa 1

Defina $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ como igual a $0$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{13}{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{x^{2} \cdot 13}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.1.2

Mova $13$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{4} + 2 (- 8 x^{3}) + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{13 x^{2}}{2}$ para o numerador.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{2}$ para o numerador.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.4.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Etapa 2.1.3.4.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reagrupe os termos.

$- 16 x^{3} - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $- 8 x$ de $- 16 x^{3} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $- 8 x$ de $- 16 x^{3}$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore $- 8 x$ de $- 8 x (2 x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Etapa 2.2.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Etapa 2.2.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ e cuja soma é $b = - 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 u$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Etapa 2.2.5.1.2

Reescreva $- 13$ como $1$ mais $- 14$

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + (1 - 14) u - 7 = 0$

Etapa 2.2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + 1 u - 14 u - 7 = 0$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Etapa 2.2.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + u (2 u + 1) - 7 (2 u + 1) = 0$

Etapa 2.2.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 u + 1) (u - 7) = 0$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Etapa 2.2.7

Fatore $2 x^{2} + 1$ de $- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Fatore $2 x^{2} + 1$ de $- 8 x (2 x^{2} + 1)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Etapa 2.2.7.2

Fatore $2 x^{2} + 1$ de $(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} - 7) = 0$

Etapa 2.2.8

Reordene os termos.

$(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $2 x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.2.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 2.4.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 2.4.2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.2.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.4.2.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.4.2.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 2.4.2.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.2.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.2.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.4.2.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.2.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.4.2.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.2.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.2.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.2.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.2.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.4.2.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 8 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 8 x - 7$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = - 7$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Some $64$ e $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $92$ como $2^{2} \cdot 23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.2.3.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

Etapa 2.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Etapa 3