Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$

Etapa 1

Defina $2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$ como igual a $0$ .

$2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$3 x^{3} - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{3} - 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $3 x$ de $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ e cuja soma é $b = - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Reescreva $- 11$ como $- 5$ mais $- 6$

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15 = 0$

Etapa 2.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Etapa 2.1.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 x (x^{2} - 3) + u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5) = 0$

Etapa 2.1.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 5$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 u - 5) (u - 3) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} - 3$ de $(2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + 2 x^{2} - 5) = 0$

Etapa 2.1.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 3) (3 u + 2 u^{2} - 5) = 0$

Etapa 2.1.9

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 u - 5) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e cuja soma é $b = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 (u) - 5) = 0$

Etapa 2.1.9.2.2

Reescreva $3$ como $- 2$ mais $5$

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + (- 2 + 5) u - 5) = 0$

Etapa 2.1.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} - 2 u + 5 u - 5) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} - 3) ((2 u^{2} - 2 u) + 5 u - 5) = 0$

Etapa 2.1.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} - 3) (2 u (u - 1) + 5 (u - 1)) = 0$

Etapa 2.1.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u - 1$ .

$(x^{2} - 3) ((u - 1) (2 u + 5)) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 1, - 2.5$

Forma de número misto:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 2 \frac{1}{2}$

Etapa 4