Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$

Etapa 1

Defina $2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$ como igual a $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$2 x^{4} + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $2 x$ de $2 x^{4} + 16 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{4}$ .

$2 x (x^{3}) + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $2 x$ de $16 x$ .

$2 x (x^{3}) + 2 x (8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{3}) + 2 x (8)$ .

$2 x (x^{3} + 8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$2 x (x^{3} + 2^{3}) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

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Etapa 2.1.5.1

Simplifique.

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Etapa 2.1.5.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.6.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

Etapa 2.1.6.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.6.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

$- {(- 2)}^{3} - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Etapa 2.1.6.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- - 8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Etapa 2.1.6.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Etapa 2.1.6.3.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$8 - 42 \cdot 4 + 160$

Etapa 2.1.6.3.5

Multiplique $- 42$ por $4$ .

$8 - 168 + 160$

Etapa 2.1.6.3.6

Subtraia $168$ de $8$ .

$- 160 + 160$

Etapa 2.1.6.3.7

Some $- 160$ e $160$ .

$0$

Etapa 2.1.6.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} - 42 x^{2} + 160}{x + 2}$

Etapa 2.1.6.5

Divida $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ por $x + 2$ .

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Etapa 2.1.6.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$42 x^{2}$

$0 x$

$160$

Etapa 2.1.6.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$

Etapa 2.1.6.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.6.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.6.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$

Etapa 2.1.6.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 2.1.6.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 40 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 2.1.6.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$40 x^{2}$	-	$80 x$

Etapa 2.1.6.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 40 x^{2} - 80 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$

Etapa 2.1.6.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$

Etapa 2.1.6.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Etapa 2.1.6.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $80 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Etapa 2.1.6.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							+	$80 x$	+	$160$

Etapa 2.1.6.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $80 x + 160$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$

Etapa 2.1.6.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$
										$0$

Etapa 2.1.6.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} - 40 x + 80$

Etapa 2.1.6.6

Escreva $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ como um conjunto de fatores.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x + 2$ de $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x + 2$ de $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4) - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.9

Simplifique.

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Etapa 2.1.9.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.9.1.1

Mova $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.9.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.1.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 2) (2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.9.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.10.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.10.1.1

Mova $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.11

Subtraia $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 40 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.12

Subtraia $40 x$ de $8 x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore.

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Etapa 2.1.13.1

Reescreva $2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.1.13.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.13.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 5 x^{2}) - 32 x + 80) = 0$

Etapa 2.1.13.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 5) - 16 (2 x - 5)) = 0$

Etapa 2.1.13.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 5$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 16)) = 0$

Etapa 2.1.13.1.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Etapa 2.1.13.1.4

Fatore.

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Etapa 2.1.13.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Etapa 2.1.13.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) ((2 x - 5) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Etapa 3