Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4$

Etapa 1

Defina $5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4$ como igual a $0$ .

$5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 4, \pm 0.8, \pm 2, \pm 0.4$

Etapa 2.1.3

Substitua $- 0.4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $- 0.4$ no polinômio.

$5 {(- 0.4)}^{3} - 3 {(- 0.4)}^{2} + 8 \cdot - 0.4 + 4$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $- 0.4$ à potência de $3$ .

$5 \cdot - 0.064 - 3 {(- 0.4)}^{2} + 8 \cdot - 0.4 + 4$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 0.064$ .

$- 0.32 - 3 {(- 0.4)}^{2} + 8 \cdot - 0.4 + 4$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $- 0.4$ à potência de $2$ .

$- 0.32 - 3 \cdot 0.16 + 8 \cdot - 0.4 + 4$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 3$ por $0.16$ .

$- 0.32 - 0.48 + 8 \cdot - 0.4 + 4$

Etapa 2.1.3.6

Subtraia $0.48$ de $- 0.32$ .

$- 0.8 + 8 \cdot - 0.4 + 4$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $8$ por $- 0.4$ .

$- 0.8 - 3.2 + 4$

Etapa 2.1.3.8

Subtraia $3.2$ de $- 0.8$ .

$- 4 + 4$

Etapa 2.1.3.9

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $- 0.4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $5 x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4}{5 x + 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4$ por $5 x + 2$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$5 x$

$2$

$5 x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$4$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x$ .

					$x^{2}$
	$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			+	$5 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$10 x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$10 x$	+	$4$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$10 x$	+	$4$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	+	$4$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	-	$4$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$5 x$	+	$2$		$5 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	+	$4$
			-	$5 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	-	$4$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x + 2$

Etapa 2.1.6

Escreva $5 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 4$ como um conjunto de fatores.

$(5 x + 2) (x^{2} - x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina $5 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $5 x + 2$ como igual a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $5 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 2$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{5}$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - x + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(5 x + 2) (x^{2} - x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{5}, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 3