Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ .

$4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 1.2.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ e cuja soma é $b = - 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Fatore $- 17$ de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Reescreva $- 17$ como $- 1$ mais $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $4 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 u = 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.6

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u - 1) (u - 4) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{4}, 4$

Etapa 1.2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Etapa 1.2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.2.10.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.2.10.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.2.10.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Etapa 1.2.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.12.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.12.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.2.13

A solução para $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ é $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{2} + 4$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 2.2.4

Simplifique $4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 17 \cdot 0 + 4$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 17$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 4$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 4)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 4)$

Etapa 4