Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 180, \pm 2, \pm 90, \pm 3, \pm 60, \pm 4, \pm 45, \pm 5, \pm 36, \pm 6, \pm 30, \pm 9, \pm 20, \pm 10, \pm 18, \pm 12, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 180, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 1.5, \pm 60, \pm 30, \pm 4, \pm 22.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 36, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 4.5, \pm 20, \pm 10, \pm 12, \pm 7.5$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua $- 4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.1.3.1

Substitua $- 4$ no polinômio.

$2 {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 64 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 64$ .

$- 128 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.4

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$- 128 - 5 \cdot 16 - 97 \cdot - 4 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.5

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$- 128 - 80 - 97 \cdot - 4 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.6

Subtraia $80$ de $- 128$ .

$- 208 - 97 \cdot - 4 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.7

Multiplique $- 97$ por $- 4$ .

$- 208 + 388 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.8

Some $- 208$ e $388$ .

$180 - 180$

Etapa 1.2.2.1.3.9

Subtraia $180$ de $180$ .

$0$

Etapa 1.2.2.1.4

Como $- 4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180}{x + 4}$

Etapa 1.2.2.1.5

Divida $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ por $x + 4$ .

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Etapa 1.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$97 x$

$180$

Etapa 1.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$

Etapa 1.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

Etapa 1.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 13 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

Etapa 1.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					-	$13 x^{2}$	-	$52 x$

Etapa 1.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 13 x^{2} - 52 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$

Etapa 1.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$

Etapa 1.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

Etapa 1.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 45 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

Etapa 1.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							-	$45 x$	-	$180$

Etapa 1.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 45 x - 180$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$

Etapa 1.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$
										$0$

Etapa 1.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 13 x - 45$

Etapa 1.2.2.1.6

Escreva $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ como um conjunto de fatores.

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 45 = - 90$ e cuja soma é $b = - 13$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 x$ .

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 13$ como $5$ mais $- 18$

$(x + 4) (2 x^{2} + (5 - 18) x - 45) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) (2 x^{2} + 5 x - 18 x - 45) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 4) ((2 x^{2} + 5 x) - 18 x - 45) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 4) (x (2 x + 5) - 9 (2 x + 5)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 5$ .

$(x + 4) ((2 x + 5) (x - 9)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 9 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.5

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, - \frac{5}{2}, 9$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.4

Simplifique $2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 97 \cdot 0 - 180$

Etapa 2.2.4.1.5

Multiplique $- 97$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 180$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 180$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 180$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $180$ de $0$ .

$y = - 180$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 180)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 180)$

Etapa 4